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第234 落入山洞（第2页）

一个有根的树叫做有根树。

有根树中的节点可以根据到根的距离分层。

一颗有根树的层数叫做这棵树的高度。

节点最多的那一层的节点数叫做这棵树的宽度。

对于有根树，每条边都有一个特殊的方向：指向根节点的方向，或者说上一层的方向（或者相反的，指向叶节点的方向，下一层的方向）。

一条边的两个端点中，靠近根的那个节点叫做另一个节点的父节点（也叫父亲、双亲、双亲节点），相反的，距离根比较远的那个节点叫做另一个节点的子节点（也可以叫孩子，儿子，子女等）。

父亲方向的所有节点都叫做这个节点的祖先，儿子方向的所有节点都叫做这个节点的子孙。

没有子节点的子节点叫做叶节点（或者叶子节点）。

由于到根的路径只有一条，根节点以外的节点的父节点永远只有一个，祖先就是这个点到根的路径上的所有节点（包括根，不包括这个节点本身）。

另外，以一个节点为根的树是指包括这个节点和其所有子孙，并以这个节点为根的树。

由于一般不需要这以外的子树，每一个节点也可以对应到一个以其为根的树，一个节点的子树通常也是指以这个节点的子节点为根的树。

如果一颗有根树每个节点的子树最多有n个，同时每个节点在其父节点中都有固定的可能可以留空的位置，这棵树叫做n叉树。

其中每个节点都可以有两个固定位置的子树的有根树叫做二叉树，二叉树中每个节点的两个子树分别叫做左子树和右子树，由于位置固定，没有左子树的时候也是可以有右子树的。

而“多叉树”

通常并不指n为任意值的n叉树，只是在和n叉树作比较的时候表示普通的有根树。

对于随机的树，高度的平均复杂度是O（logn），但是没有限制而且不随机的树高度也可以达到O（n），也就是除了叶节点都只有一个子树，或者常数个分支的情况。

所以树作为数据结构时通常需要另外进行平衡。

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对于普通的树，可以像图一样为每一个点存储一个边表（通常按顺序存和每一个点的关系的叫做邻接矩阵，存具体的边的叫做邻接表），或者直接存储所有边的边表等。

由于树是稀疏图，所以一般不用邻接矩阵存储。

对于有根树，如果用为每一个点储存一个边表的方法，由于每一棵树都只有一个父节点，所以通常指向父节点的边不存在这个表中。

同时如果子节点是没有顺序的，也是因为一个节点的子节点不会同时是其他节点的子节点，也可以把子节点直接当成存边的链表的节点，这时候每个节点只需要储存两个指针，所以这种存储方法有时候也会被叫做多叉树转二叉树。

对于子节点是有顺序的有根树，每条边都可以以固定的位置分别储存。

对于完全二叉树甚至能直接用一个数组访问所有节点，不另外储存边的信息。

有的树可以被设计成固定的从根节点开始访问，这时候可以不储存父节点。

同样的，有的树也可以省略子节点，例如并查集。

对于一般的树，可以用和普通的图一样的方法遍历，比如深度优先搜索和宽度优先搜索。

如果和树的每个节点相邻的点有固定的顺序，深度优先搜索可以不储存当前点以外的任何信息，而且不用判重。

而在有根树中更方便，所以有根树中很少使用宽度优先搜索。