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第234 落入山洞（第1页）

树

图论

共18个含义

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。

它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

它是一种无向图（uedgraph），其中任意两个顶点间存在唯一一条路径。

树图广泛应用于计算机科学的数据结构中，比如二叉查找树、堆、Trie树以及数据压缩中的霍夫曼树等。

顶点

v

边

v-1

色数

2

定义

如果一个无向简单图G满足以下相互等价的条件之一，那么G是一棵树：

G是没有回路的连通图。

G没有回路，但是在G内添加任意一条边，就会形成一个回路。

G是连通的，但是如果去掉任意一条边，就不再连通。

G是连通的，并且3顶点的完全图?不是G的子图。

G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。

如果无向简单图G有有限个顶点（设为n个顶点），那么G是一棵树还等价于：

G是连通的，有n?1条边，并且G没有简单回路。

如果一个无向简单图G中没有简单回路，那么G是森林。

性质

一棵树中每两个点之间都有且只有一条路径（指没有重复边的路径）。

一颗有N个点的树有N-1条边，也就是连接N个点所需要的最少边数。

所以如果去掉树中的一条边，树就会不连通。

如果在一棵树中加入任意的一条边，就会得到有且只有一个环的图。

这是因为这条边连接的两个点（或是一个点）中有且只有一条路径，这条路径和新加的边连在一起就是一个环。

如果把一个连通图中的多余边全部删除，所构成的树叫做这个图的生成树。

如果要在树中加入一个点，就要加入一条这个点和原有的点相连的边。

这条边不会给这棵树增加一个环或者多余的路径。

所以每次这样加入一个点，就可以构成一棵树。

一棵树既可以是有向的也可以是无向的。

显然，树是连通图，但不会是双连通图（对于无向图）或者强连通图（对于有向图）。

树可以算是稀疏图。

显然树中也没有自环和重复边。

有根树

在一棵树中可以指定一个特殊的节点：根。